محاسبات سریع ذهنی با ۱۳ ترفند کاربردی

ریاضی از علوم پایه‌ای است که در زندگی روزمره نیز کاربرد دارد و در بسیاری از جنبه‌های زندگی نقش مهمی ایفا می‌کند، از محاسبه صورت‌حساب‌های خرید مواد غذایی گرفته تا تجزیه‌وتحلیل داده‌های پیچیده. بااین‌حال بسیاری از افراد در محاسبات ذهنی ضعیف‌اند و برای حل هر معادله ساده‌ای از ماشین‌حساب استفاده می‌کنند. خوشبختانه برای آموزش محاسبات سریع ذهنی ترفندهایی وجود دارد که با استفاده از آنها می‌توانید بسیاری از محاسبات ریاضی را سریع‌تر و دقیق‌تر انجام دهید. در ادامه، با تعدادی از این ترفندها و نکات آشنا می‌شویم.

۱. محاسبه معکوس درصدها

Xدرصد از Y برابر است با Yدرصد از X. اگر برعکس انجام محاسبات آسان‌تر باشد، می‌توانید درصدها را با هم عوض کنید. مثلا ۶۸درصد از ۲۵ برابر است با ۲۵درصد از ۶۸ یا به‌عبارتی یک‌چهارم ۶۸ که می‌شود ۱۷. اگر درصدهایی را که معادل کسرهای اساسی هستند حفظ کنید، انجام بسیاری از محاسبات برایتان آسان‌تر می‌شود:

• ۱۰درصد = یک‌دهم
• ۱۲٫۵درصد = یک‌هشتم
• …۱۶٫۶۶۶درصد = یک‌ششم
• ۲۰درصد = یک‌پنجم
• ۲۵درصد = یک‌چهارم
• …۳۳٫۳۳۳درصد = یک‌سوم
• ۵۰درصد = یک‌دوم
• …۶۶٫۶۶۶درصد = دوسوم
• ۷۵درصد = سه‌چهارم

۲. پیداکردن درصد اعداد

یافتن درصد اعداد شاید مشکل باشد، ولی گاهی با کمی دقت راحت‌تر می‌توانیم مقدارش را درک کنیم. مثلا برای درک مقدار ۵درصدِ ۲۳۵ می‌توانید ابتدا ۱۰درصد یا یک‌دهم آن را محاسبه کنید. برای تقسیم ۲۳۵ بر ۱۰ علامت اعشار را یک رقم جابه‌جا کنید. با این کار به عدد ۲۳٫۵ می‌رسید. سپس ۲۳٫۵ را بر ۲ تقسیم کنید (چون ۵درصد نصف ۱۰درصد است). پس جواب معادله ۱۱٫۷۵ است.

۳. تفریق بدون قرض‌گرفتن ارقام

وقتی به قرض‌گرفتن از رقم مرتبه بالاتر نیازی نداشته باشید، تفریق ذهنی آسان‌تر می‌شود. اگر عدد دوم از عدد اول (که باید از آن کسر شود) بزرگ‌تر باشد، تفریق‌کردن کمی پیچیده می‌شود. برای پرهیز از قرض‌گرفتن از اعداد کناری باید طوری از شر این اعداد بزرگ‌تر خلاص شوید.

مثلا در معادله ۷۳۴-۹۲۵ رقم‌های دهگان کمی کار را پیچیده می‌کنند. برای ساده‌ترکردن محاسبه ابتدا ۷۲۴-۹۲۵ را محاسبه کنید و سپس عدد به‌دست‌آمده را منهای ۱۰ کنید. یعنی:

۲۰۱ = ۷۲۴ – ۹۲۵

۱۹۱ = ۱۰ – ۲۰۱

۴. تعیین بخش‌پذیربودن یک عدد بر عدد دیگر

• مضارب ۲: به ۰، ۲، ۴، ۶ یا ۸ ختم می‌شوند.
• مضارب ۳: مجموع ارقام آنها ۳ یا مضربی از ۳ است.
• مضارب ۴: رقم صدگان را نادیده بگیرید و عدد دورقمی باقی‌مانده را بر دو تقسیم کنید. سپس آزمایش مضارب ۲ را انجام دهید. مضارب ۴ به ۰۰ یا عددی دورقمی ختم می‌شوند که بر ۴ بخش‌پذیر است.
• مضارب ۵: به ۵ یا صفر ختم می‌شوند.
• مضارب ۶: اعدادی زوج‌اند که وقتی ارقام آنها را با هم جمع می‌کنیم، حاصل جمع بر ۳ بخش‌پذیر است.
• مضارب ۷: چند روش وجود دارد که همه آنها از بیرون‌آوردن گوشی همراه و انجام محاسبه با ماشین‌حساب گوشی سخت‌ترند، ولی شاید این روش از بقیه آسان‌تر باشد. در این روش رقم آخر را ۲ برابر و حاصل را از ارقام باقی‌مانده کم می‌کنید. مثلا:

۱۳۶۵

۱۲۶=(۵×۲)-۱۳۶

۰=(۶×۲)-۱۲

اگر درنهایت به صفر یا مضربی از ۷ رسیدید، عدد اصلی بر ۷ بخش‌پذیر است.

• مضارب ۸: رقم هزارگان را نادیده بگیرید و عدد سه‌رقمی باقی‌مانده را بر ۲ تقسیم کنید. سپس عدد به‌دست‌آمده را دوباره بر ۲ تقسیم کنید و آزمایش مضارب ۲ را انجام دهید. اگر سه رقم آخر عددی بر ۸ بخش‌پذیر باشند یا عدد به ۳ صفر ختم شود، آن عدد از مضارب ۸ است.
• مضارب ۹: مجموع ارقام برابر ۹ یا مضربی از ۹ است.
• مضارب ۱۰: به صفر ختم می‌شوند.

مضارب اعداد بزرگ‌تر از ۱۰

برای سنجش بخش‌پذیری بر اعداد بزرگ‌تر از ۱۰ ابتدا عدد مدنظر را به اعداد تک‌رقمی تجزیه کنید. سپس با کنار هم گذاشتن تمام عوامل تکراری آزمایش‌های بالا را انجام دهید.

مثلا می‌توان عدد ۶۰ را به‌صورت ۵×۳×۲×۲ تجزیه کرد. بنابراین تمام مضارب ۶۰ باید مضارب اعداد ۲×۲، ۳ و ۵ نیز باشند. توجه داشته باشید که گفتیم ۲×۲ یعنی مضرب ۶۰ باید علاوه‌بر ۲ بر ۴ نیز بخش‌پذیر باشد. مثلا ۱۵۰ بر ۲ بخش‌پذیر است، ولی بر ۴ بخش‌پذیر نیست، بنابراین بر ۶۰ نیز بخش‌پذیر نیست.

۵. ترفندهایی برای ضرب اعداد

برای انجام محاسبات سریع در ضرب ذهنی اعداد سعی کنید مسئله را ساده‌تر کنید.

۱. دوبرابرکردن اعداد

هنگام ضرب اعداد در عددی زوج ابتدا عدد مدنظر را در نصف آن عدد و سپس در ۲ ضرب کنید.

۲. ضرب در ۵

هنگام ضرب ۵ در عددی زوج، آن عدد را تقسیم بر ۲ کنید. سپس جلوی عدد به‌دست‌آمده صفری قرار دهید تا جواب معادله را به دست بیاورید. مثلا برای ۴×۵ ابتدا ۴ را بر ۲ تقسیم کنید. سپس مقابل جواب به‌دست‌آمده صفر بگذارید.

۲۰=۴×۵

برای ضرب اعداد فرد در ۵ فرمول کمی تغییر می‌کند. ابتدا عددی را که در ۵ ضرب شده است، منهای ۱ کنید. سپس عدد به‌دست‌آمده را تقسیم بر ۲ کنید و ۵ را به‌عنوان رقم آخر جلوی آن قرار دهید. مثلا برای ۳×۵ ابتدا ۳ را منهای ۱ و حاصل آن یعنی ۲ را بر ۲ تقسیم می‌کنیم که حاصل آن ۱ می‌شود. درنهایت نیز ۵ را جلوی ۱ قرار می‌دهیم و به جواب معادله یعنی ۱۵ می‌رسیم.

البته روش ساده‌تری نیز وجود دارد که برای اعداد زوج و فرد کاربرد دارد. در این روش عدد مدنظر را در ۱۰ ضرب و سپس آن را تقسیم بر ۲ می‌کنیم.

۳. ضرب اعداد در ۴

برای ضرب اعداد در ۴ می‌توانیم آن عدد را ۲ بار ۲ برابر کنیم. مثلا برای ضرب ۸ در ۴ با دوبرابرکردن ۸ به عدد ۱۶ می‌رسیم. سپس ۱۶ را نیز ۲ برابر می‌کنیم تا جواب معادله را به دست بیاوریم. بنابراین: ۳۲=۴×۸.

۴. ضرب در ۹

ابتدا عدد مدنظر را در ۱۰ ضرب کنید و سپس جواب به‌دست‌آمده را منهای خود عدد کنید. مثلا برای محاسبه ۹×۶۵ به‌ این صورت عمل می‌کنیم:

۵۸۵=۶۵۰-۶۵=۶۵-(۱۰×۶۵)

۵. ضرب در ۱۰ و ۱۱

برای ضرب‌کردن هر عدد در ۱۰ فقط باید یک صفر به انتهای آن اضافه کنیم. مثلا ۶۲ ضرب در ۱۰ برابر است با ۶۲۰. برای ضرب اعداد دورقمی در ۱۱ نیز دو رقمِ عدد مدنظر را با هم جمع کنید و حاصل آن را میان ۲ رقم قرار دهید. مثلا برای ضرب‌کردن ۳۶ در ۱۱ باید ۳ و ۶ را با هم جمع کنید و حاصل، یعنی عدد ۹، را میان دو رقم ۳ و ۶ قرار دهید. بنابراین جواب معادله ۳۹۶ است.

اگر حاصل جمع دو عدد دورقمی است، رقم دوم را در وسط قرار دهید و رقم اول عددی را که می‌خواهید در ۱۱ ضرب کنید، با ۱ جمع کنید. مثلا معادله ۸۸×۱۱ را در نظر بگیرید:

۸ (۸+۸) ۸

۶۸ (۸+۱)

۹-۶-۸

۹۶۸=۸۸×۱۱

۶. ضرب اعداد بزرگ

هنگام ضرب‌کردن اعداد بزرگ اگر یکی از اعداد زوج است، عدد اول را نصف و عدد دوم را ۲ برابر کنید. با این روش به‌سرعت می‌توانید ضرب را انجام دهید. مثلا:

۱۲۰×۲۰

ابتدا ۲۰ را بر ۲ تقسیم و ۱۲۰ را در ۲ ضرب کنید. سپس جواب‌های به‌دست‌آمده را در هم ضرب کنید:

۲۴۰۰=۲۴۰×۱۰

۲۴۰۰=۱۲۰×۲۰

۷. ضرب اعداد در ۲۵

برای ضرب یک عدد در ۲۵ کافی است که آن عدد را در ۱۰۰ ضرب و سپس بر ۴ تقسیم کنید. مثلا برای ضرب ۳۶ در ۲۵ باید ۳۶ را در ۱۰۰ ضرب کنید. سپس عدد به‌دست‌آمده را تقسیم بر ۴ کنید تا به جواب معادله برسید.

۳۶۰۰=۱۰۰×۳۶

۹۰۰=۴÷۳۶۰۰

۸. ضرب اعدادی که به صفر ختم می‌شوند

اعداد را بدون درنظرگرفتن صفر انتهای آنها در هم ضرب کنید و سپس صفرها را به انتهای جواب به‌دست‌آمده اضافه کنید.

مثال:

۴۰۰×۲۰

۸=۴×۲

۸۰۰۰=۴۰۰×۲۰

۹. ضرب اعداد در ۵۰

عدد مدنظر را در ۱۰۰ ضرب کنید و سپس جواب به‌دست‌آمده را بر ۲ تقسیم کنید. مثلا برای ضرب ۳۰ در ۵۰، ابتدا ۳۰ را در ۱۰۰ ضرب می‌کنیم و سپس حاصل‌ضرب آن یعنی ۳۰۰۰ را تقسیم بر ۲ می‌کنیم. بنابراین حاصل‌ضرب ۳۰ در ۵۰ برابر با ۱۵۰۰ است.

۶. تقسیم اعداد بر ۵

برای تقسیم یک عدد بر ۵ کافی است که آن را در ۲ ضرب کنید و علامت اعشار را یک رقم به‌سمت چپ ببرید. مثلا برای تقسیم‌کردن ۵۰ بر ۵ باید ۵۰ را در ۲ ضرب کنید و سپس اعشار حاصل‌ضرب آنها یعنی ۱۰۰ را یک رقم به‌سمت چپ ببرید. با این کار به جواب معادله یعنی عدد ۱۰ می‌رسید.

۷. حفظ‌کردن محاسبات ساده

هرچه محاسبات پایه‌ای بیشتری را حفظ کنید، بیشتر می‌توانید مسائل ریاضی بزرگ‌تر را تجزیه کنید. اگر جدول ضرب را فراموش کرده‌اید، دوباره آن را مرور کنید. حس بسیار خوبی دارد که مضربی از ۱۲ را پیدا کنید و بفهمید که می‌توانید عددی بزرگ‌تر را تقسیم کنید.

۸. پیداکردن مربع کامل یک عدد بر اساس مجذور عدد قبل از آن

اگر مربع عددی صحیح را بدانید، به‌راحتی می‌توانید با استفاده از فرمول زیر مربع عدد صحیح بعدی را به دست بیاورید.

x^۲+x+(x+۱)=(x+۱)^۲

مثلا می‌دانیم که ۱۰ به‌ توان ۲ برابر است با ۱۰۰. بنابراین برای به‌دست‌آوردن ۱۱ به‌ توان ۲ از فرمول بالا استفاده می‌کنیم:

۱۲۱=۱۰۰+۱۰+۱۱=۱۱^۲

۹. گردکردن اعداد دورقمی قبل از مربع‌کردن آنها

فرض کنید که باید مجذور ۴۶ را به دست بیاورید. ابتدا با جمع‌کردن ۴۶ با ۴ آن را به نزدیک‌ترین مضرب ۱۰ گرد کنید. سپس همان مقدار اضافه‌شده را از ۴۶ کم کنید تا به عددی جدید برسید. بنابراین اعداد ۵۰ و ۴۲ را خواهید داشت. دو عدد به‌دست‌آمده را در هم ضرب کنید و سپس مجذور عددی را که برای گردکردن ۴۶ استفاده کردید به آن اضافه کنید.

۲۱۱۶=۲۱۰۰+۱۶=۴^۲+(۴۲×۵۰)=۴۶^۲

اگر ضرب‌کردن ۵۰ در ۴۲ برایتان سخت است، می‌توانید آن را به ۲۱×۱۰۰ تبدیل کنید.

۱۰. مربع‌کردن اعداد دورقمی که به ۵ ختم می‌شوند

رقم اول را در رقم بعد از خود ضرب کنید و سپس ۲۵ را به انتهای حاصل‌ضرب آنها اضافه کنید. مثلا برای مربع‌کردن ۷۵ ابتدا ۷ را در ۸ ضرب کنید و سپس ۲۵ را به حاصل‌ضرب آنها یعنی ۵۶ اضافه کنید. با این کار به جواب معادله یعنی ۵۶۲۵ می‌رسید.

۱۱. تبدیل دماها

برای تبدیل تقریبی دمای هوا از سانتی‌گراد به فارنهایت، درجه سانتی‌گراد را در ۲ ضرب و حاصل‌ضرب را با ۳۰ جمع کنید و برای تبدیل دمای هوا از فارنهایت به سانتی‌گراد نیز دمای هوا را منهای ۳۰ و حاصل را بر ۲ تقسیم کنید. (برای تبدیل دقیق‌تر درجه سانتی‌گراد به فارنهایت دمای هوا را در ۱٫۸ ضرب کرده و جواب آن را با ۳۲ جمع کنید.)

۱۲. جمع‌کردن اعداد بزرگ

برای ساده‌ترشدن این کار می‌توانید تمام اعداد را به مضربی از ۱۰ تبدیل کنید. مثلا:

۶۴۴+۲۳۸

گرچه جمع‌کردن این اعداد سخت است، گردکردن آنها کارتان را ساده‌تر می‌کند. بنابراین ۶۴۴ را به ۶۵۰ و ۲۳۸ را به ۲۴۰ تبدیل می‌کنیم. حالا ۶۵۰ و ۲۴۰ را با هم جمع می‌کنیم و به عدد ۸۹۰ می‌رسیم. برای یافتن جواب معادله باید اعدادی را که برای گردکردن استفاده کردیم (۶ و ۲) با هم جمع کنیم و حاصل جمع آنها (۸) را از ۸۹۰ کم کنیم تا به جواب نهایی معادله یعنی ۸۸۲ برسیم. بنابراین:

۸۸۲=۶۴۴+۲۳۸

۱۳. کم‌کردن اعداد از ۱۰۰۰

برای این کار تمام اعداد به‌جز عدد آخر را از ۹ و عدد آخر را از ۱۰ کم کنید. مثلا برای کم‌کردن ۳۲۴ از ۱۰۰۰ با کم‌کردن ۳ و ۲ از ۹ به‌ترتیب به اعداد ۶ و ۷ می‌رسیم و با کم‌کردن ۴ از ۱۰ نیز به عدد ۶ می‌رسیم. بنابراین:

۶۷۶=۱۰۰۰-۳۲۴

سخن پایانی

با آموزش محاسبات سریع ذهنی و تمرین‌کردن ترفندها و روش‌های موجود می‌توانید مهارت‌های ریاضی خود را تقویت کنید و دیگر از کارکردن با اعداد نترسید. با یادگیری این ترفندها مسائل ریاضی برایتان مانند بازی می‌شوند و از انجام آنها لذت می‌برید.

شما از چه ترفندهایی برای محاسبات سریع ذهنی استفاده می‌کنید؟ آیا روش‌های بالا به‌اندازه کافی کوتاه و سریع هستند یا روش‌های بهتری را پیشنهاد می‌دهید؟

تکنیک‌هایی برای به‌خاطر سپردن اطلاعات و بازیابی آنها در زمان مناسب